当然，那时我对负频率的理解还有一些肤浅，对具体实现方式没有过多地考虑，有些提法并不准确，这篇文章算是对《LTE教程》相关内容的完善与补充吧。

在《原理与实现》一书中，负频率出现在附录，是这样提到负频率的：

细心的读者会注意到这样一个问题：矩形窗函数在负频率上的功率是怎么回事？ 经常看到的说法是：负频率是傅里叶变换引入的，在物理上没有意义，只在数学上有意义，可以体现出傅里叶变换中参数的对称性。 那么，物理上没有意义的负频率到底该怎么理解才好呢？ 在4.3节中，我们看到，在实施复数IDFT算法时，存在如下的关系式，其中N代表子载波总数： cos(N-k)Dx = coskDx sin(N-k)Dx=-sinkDx 如果把N-k改为-k，我们不难看到： cos(-k)Dx = coskDx sin(-k)Dx=-sinkDx 因此，在OFDM符号发生过程中，所谓的-kf频率等价于（N-k）f频率。

可见我个人之前比较认同“负频率只存在数学意义，但是不存在物理意义”这个说法。不过考虑到很多人对物理意义比较感冒，觉得话说得太重，因此如果把这句话改为：“引入负频率是为了简化数学表达方式，但是在现实世界中并不存在。”我觉得可能更准确一些。

这是因为频率是周期的倒数，而周期是事件重复的时间间隔。如果频率为负，意味着周期为负，也就是时间可以倒流，必然导致因果律的背离。

所以，在我们所在的这个世界里面，不可能找到负频率的对应物。就拿信号发生来说，可能让压控振荡器VCO生成一个负频率的信号吗？

不存在负频率是我们这个世界的特点，也算不上缺陷。除了负频率，这个世界还没有负质量呢。

简化数学表达方式主要是一方面正负频率有对称性，另外一方面-kf看起来比（N-k）f简洁。

另外，傅立叶变换本身就有正负频率，这也从一个侧面说明了OFDM技术的来源。

但是正负频率这种对称性只在基带范围内成立，扩展到上变频反而会带来问题。

例如，在《结构与实施》一书的第一章中提到：

事实上，在发生OFDM符号过程中，负频率并不是必须的，详细情况可以阅读《LTE教程：原理与实现》。不过在后续的上变频过程中，正负频率可以理解为相对于中心频率的偏移量，因此采用负频率后，描述射频信号的频率会比较方便。

但是，仔细推敲，这个提法其实很有问题。

首先，上变频就是一种模拟信号的调制，根据《原理与实现》的第二章的介绍，上变频的结果是生成了以载波中心频率为对称轴的双边带信号。

不过在引入负频率后，上变频后得到的两个频谱边带并不是我们想象那样一个对应正频率，另外一个对应负频率， 而是输出信号的两个频率完全相同，在上下两个边带中混在一起，接收机无法区分。

因此，《结构与实施》一书的上述提法并不妥当，在上变频过程中正负频率并不能理解为相对于载波中心频率的偏移量。

那么，该怎么解决上变频过程中负频率带来的频率混淆问题呢？

解铃还得系铃人，利用-kf1频率的子载波等价于（N-k）f1频率的子载波这个特点，可以解决这个问题。

只要k<N/2，接收机就可以区分出上变频后的正频率以及等价负频率。

为了节省带宽，我们需要采用单边带的方式，通过带通滤波，实现只传递上边带的信号，也就是只传送正频率和等价负频率。

附带说一下，由于采用了单边带的方式，中心频率就不必等于载波频率了，应该等于载波频率再加上一半的带宽。

在利用傅立叶变化做信号分析时，我们分析的都是实信号，因此其正负频率的子载波幅值都是相等的，也不用区分；但是在OFDM技术中，为了充分利用带宽，我们希望正负频率的子载波能传递不一样的信号，换句话说，幅值可能不相等，需要区分。

信号分析与OFDM技术的另外一大差别在《原理与实现》中还有详细介绍，感兴趣的读者可以去看看。

总之，引入负频率简化了数学表达式，在介绍技术原理有优势；但是引入负频率也会在技术的实现过程中带来困扰，需要加以解决。

从这个角度看，原理与实现永远是技术人不能偏废的两个基本点。