-- 发布时间：2018-08-24 11:09:57
3.2 OFDM为什么正交
3.2.1 OFDM正交的含义
3.2.2 能量正交
3.2.3 能量如何正交
3.2.4 功率正交vs能量正交
-- 作者：bakarru
-- 发布时间：2018-08-24 11:23:55
OFDM是一种多载波技术，这些多载波在OFDM技术中有一个专用的术语叫子载波，那么OFDM各路子载波为什么正交呢？是不是像CDMA一样各路子载波乘以相应的正交码来实现正交呢？当然不是，不然就不叫FDM了，而叫CDM了。当然OFDM的正交方式和CDMA还是有类似之处的，这个在后面会讲到。再回到OFDM的各路子载波为什么正交的问题上，有的参考书中解释说，“每路子载波的峰值正好对应其它子载波的零点，所以子载波正交”，这当然是因果倒置的解释，因为是子载波正交所以才有这个现象，话说回来，即使是FDM，我们也能看到一样的结果，每路载波的峰值正好对应其它载波的零点，所以这并不能作为解释子载波正交的理由。
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-- 作者：bakarru
-- 发布时间：2018-08-25 09:19:09
所谓正交就是可分离，体现在信号的解调上，功率正交就是不同信号的功率可分离，例如FDM利用滤波器分离信号就是典型的功率正交；而能量正交则是不同信号的能量可分离，为实现能量的分离，解调时引入相关参考信号和混合信号相乘，与参考信号相关的信号相乘得到信号功率，再积分后得到信号能量，而与不相关信号（正交信号）相乘没有物理意义，积分等于零，这样就分离出了信号的能量。
为了形象说明问题，可以拿三棱镜分解日光和试剂萃取来类比于功率正交和能量正交。日光通过三棱镜，作为复合光，日光中各单色光在三棱镜中的折射率不同，所以经过三棱镜后日光被分解成单色光，就像FDM利用滤波器分离不同频率的信号一样；而萃取则是另外一回事，利用混合物中不同成份在试剂中有不同的溶解度，加入不同的试剂可溶解指定的成份，而其它成份会沉淀，这个过程类似于能量正交利用参考信号提取相关信号的能量。
其实，能量正交的信号相乘取积分就是取信号的相关部分，积分为零即两信号不相关（相互正交），积分不为零即两信号相关，所以很多参考资料上也称其为积分正交。
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-- 作者：bakarru
-- 发布时间：2018-08-26 11:27:13
先看下这4个积分公式，积分区间为（0，2п)，
如果把cosnx看成一路信号，cosmx或 sinmx 看成另外一路信号，则不同信号相乘后积分为零，相同信号相乘后积分为п，因此对于cosnx与cosmx或sinmx混合的信号，只要用cosnx或者conmx与之相乘取积分就能提取出指定信号的能量，这其实就是信号的互相关性，如果信号能量正交，则信号的互相关性为零。
如果用cosnx/cosmx/sinmx 来表示子载波，子载波就可以实现能量正交了。
此外，子载波间能量正交必须满足4个条件：
1）子载波为正弦波或余弦波；
2）子载波频率为基波频率整数倍；
3）积分周期为完整的基波周期；
4）积分周期内，子载波幅值不能改变。
这里，基波就是子载波中最低频率的子载波，或称一次谐波，其它子载波的频率均为基波频率的整数倍，如二次谐波，三次谐波等。
子载波为余弦波/正弦波自不用说，因为调制使用的载波一般都是余弦波/正弦波；子载波频率如果不是基波频率整数倍会怎样？书上举了一个cosx*sin1.05x在（0，2п)区间取积分的例子，结果等于0.32п，可见当子载波频率不是基波频率整数倍时，就会有非正交能量，从而影响有用能量的分离，造成干扰；如果积分区间不是取到完整的基波周期会怎样？书上举了一个cosx*sinx在（0，1.8п)区间取积分的例子，结果等于0.05п，可见积分区间如果不是取到完整的基波周期，也会有非正交能量，造成干扰；最后，在积分周期内，为什么子载波幅值要保持不变？因为在一个完整的基波周期内，传送的是一个OFDM调制符号（波形），而这一个OFDM调制符号又是各路子载波在基波周期内波形的叠加，如图所示，
而各路子载波在基波周期内不管传递了多少个周期，都是在重复其第一个周期的波形。看似传递信息的效率不高，但是OFDM的各路子载波都在传递信息，所以虽然OFDM的符号率低（基波频率低），但是子载波数量多，总体传输效率并不低。
最后，大家还可以根据书附录里的积化和差，和差化积公式，自己推倒一下以下推论：
1）同频子载波间，只有相位差п/2奇数倍才正交；
2）异频子载波间无论相位差如何都是正交的；
3）积分区间内，取不到完整周期的子载波与其它子载波将不正交。
[此贴子已经被作者于2018-8-26 17:00:28编辑过]
-- 作者：bakarru
-- 发布时间：2018-08-27 15:05:57
了解了能量正交以后，我们再来对比下功率正交与能量正交，简单讲功率正交的信号能量上一定是正交的，但是能量正交的信号功率是却不一定是正交的，因为功率正交的信号可以用滤波器分离，时刻都是相互正交的，对功率再取积分得到能量自然也是可分离的；而能量正交的信号在功率上未必是时刻可分离的，因此不一定可以用滤波器来分离。例如，FDM是功率正交，并且能量上也是正交的，但是OFDM就只是能量正交而功率上并不正交。值得注意的是，FDM的载波是有带宽的，其带宽就是调制模式所占用的带宽，而OFDM子载波并没有带宽的概念，其各子载波在频谱上只是一个个离散的点，如下图所示。
载波带宽在功率正交中是一个很重要的概念，而在能量正交中却没有意义，能量正交的子载波是离散的，没法构成一个连续的带宽。
虽然能量正交的信号在功率上不正交，也就是功率上不可分离，但是却可分辨，注意到OFDM符号的频谱在各子载波的频点处并没有其它子载波的功率，这也是实现能量正交的基础。
最后对文末提出的俩个问题作出解答，
1）OFDM与CDMA在正交上的对比：两者都是能量正交，但是OFDM是利用异频子载波实现的FDM，而CDMA是利用同频载波和正交码实现的CDM；
2）如果OFDM系统的带宽不变，基波频率提升一倍，可用子载波数量将：减半，因为基波频率提升一倍，带宽又不变的话，意味着只能使用原来的偶次谐波了。
[此贴子已经被作者于2018-8-27 15:58:12编辑过]
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