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毫米波雷达传感器基础知识1：距离测量 本模块旨在介绍毫米波雷达传感器的基本原理和相关公式。 引言 毫米波（mmWave）位于微波的频率最高端，指波长在1mm~10mm之间的电磁波，对应频率为30GHz~300GHz，通常24GHz以上的频段也被纳入了毫米波。 毫米波雷达是采用毫米波的雷达技术，是毫米波的典型应用；此外移动通信中5G技术的FR2频段也属于毫米波。 雷达是RADAR的音译，也就是无线电探测和测距。雷达系统发射电磁波信号，在电磁波信号传播路径中的目标物体会反射这些信号。通过捕获反射信号，雷达系统可以确定目标物体的距离、速度和角度。 毫米波雷达发射的信号波长在毫米级范围内，这在电磁波谱中被认为是较短波长，也是毫米波技术的优势之一。这样，处理毫米波信号所需的天线等系统组件的尺寸很小。另一个优势是较短波长带来的高精度。在76-81 GHz的毫米波系统中（相应波长约为4毫米），将能够检测到小到几分之一毫米的运动。 毫米波雷达通常发送调频连续波（FMCW）信号，这与传统的脉冲雷达系统不同，传统脉冲雷达系统周期性地发送短脉冲。 下面将介绍与毫米波雷达测量距离相关的知识。 FMCW信号的特点 毫米波雷达发射的FMCW信号具有频率随时间线性增加的特点，这种类型的信号被称为啁啾信号（chirp）。图1是一个啁啾信号的具体波形，可见啁啾信号的幅度和频率都随时间变化，并且信号的振幅保持恒定。   图1还隐藏了一个重要的信息，即啁啾信号的相位φ是随时间t连续变化的，没有产生突变，如图Q1所示。   图Q2用频率-时间图描述了啁啾信号的频率随时间变化的情况，频率-时间图中横坐标为时间，纵坐标为频率。可见啁啾信号的频率是随着时间线性增加的，所以又称为线性调频波。 显然，指定时刻啁啾信号的频率f(t)由起始频率（fc）、带宽（B）和持续时间（Tc）三个参数决定，可描述为f(t)=B/T_c  t+f_c,      0≤t≤T_c （Q1） 因此，若记啁啾信号的振幅为A0，则该啁啾信号的幅度A与t的函数关系式为             A(t)=A_0  sin⁡[ 2πf(t)t] （Q2） 啁啾信号的斜率S=B/T_c 体现了频率变化的速率。   在图2的基础上，我们给出一个特定的例子。在这个例子中，fc = 77 GHz，B = 4 GHz，Tc = 40 μs，S = 100 MHz/μs。附带说一下，图2中的参数是汽车毫米波雷达使用的啁啾信号的典型参数。   由于图2的示例中相位随时间的变化几乎是线性的，因此可以用正弦波模拟图2中的信号。 了解了啁啾信号后，接下来我们介绍毫米波雷达的工作流程。 毫米波雷达的工作流程 FMCW雷达系统发射一个啁啾信号，并捕获该信号传播路径中的物体反射的信号。图3是简化过的FMCW雷达主要射频组件的工作流程图。该雷达的运作如下：   ○1 合成器（synth）产生一个啁啾信号。 ○2 啁啾信号通过发射天线（TX ant）进行发射。 ○3 目标物体反射啁啾信号，反射信号被接收天线（RX ant）接收。 ○4 混频器混合发射信号和反射信号，得到混合信号。 ○5 混频器输出的混合信号通过低通滤波器，过滤掉混合信号中的高频部分，生成中频（IF）信号。 现在考虑在某一特定时刻t时，各个阶段涉及信号的函数表达式。 ○1 由于啁啾信号产生的信号为调频信号，故其振幅恒定。在t时刻，其函数表达式可以简化为x_1=sin⁡〖(ω_1 t+ϕ_1)〗  （1） ○3 在t时刻，接收的反射信号也可以简化为x_2=sin⁡〖(ω_2 t+ϕ_2)〗 （2） ○4 混频器的实质是一个乘法器，故混频器输出的混合信号x_out^'可以写为：      x_out^'=x_1·x_2 =1/2  cos⁡〖[(ω_1-ω_2 )t+(ϕ_1-ϕ_2 )]〗-1/2  〖cos⁡[〗⁡〖(ω_1+ω_2 )t+(ϕ_1+ϕ_2 )]〗 ○5 IF信号x_out 为混合信号x_out^'的低频部分，可以写为 x_out=1/2  cos⁡〖[(ω_1-ω_2 )t+(ϕ_1-ϕ_2 )]〗（3） 与图2类似，我们还可以观察TX和RX啁啾信号的频率-时间图来理解混频器的工作原理，进而了解毫米波雷达距离测量的原理。 距离测量的原理 图4的上半图显示了当检测到单个目标时，TX和RX啁啾信号频率随时间的变化。注意，RX啁啾信号是TX啁啾信号的时间延迟版本。 当雷达接收到RX信号时，表明检测到目标。假定目标与发射机的距离为d，因为光速为c，则时间延迟（𝜏）可以用公式4计算： τ=2d/c（4） 如图4的上半图所示，考虑到Tc极短，目标运动速度有限，在Tc时间内，可以认为目标与雷达距离d不变，则TX与RX对应直线平行。因此，两条直线之间的距离在直角坐标轴上的投影𝜏和S𝜏是固定的，可以理解为TX啁啾信号和RX啁啾信号在同一频率具有固定的时间差𝜏，或者在同一时刻具有固定的频率差S𝜏，其频率差S_τ=(ω_1-ω_2)/2π (A3) 由于IF信号的频率就是频率差S𝜏，故IF信号由单一频率的音调组成。IF信号仅在重叠的时间间隔内有效（即图4中垂直虚线之间的区间）。 IF信号是混频的产物，由于混频器还会产生高频的频率和信号，故需引入一个低通滤波器过滤，见图3。   接下来计算IF信号的频率f_0。 由于S为直线斜率，因此图4的上半图中S_τ=S·τ，则由图4的下半图可知，S_τ=f_0。再联立公式4可得f_0=2Sd/c （A4） IF信号的初始相位（ϕ_0）是TX啁啾信号和RX啁啾信号在IF信号开始的时刻（即图4中RX啁啾信号开始时刻）的相位差。通常TX啁啾信号在t=0时刻的相位为0，因此RX啁啾信号在t= τ时刻的相位也为0，于是。 ϕ_0= ϕ_TX  〖- ϕ〗_RX= ϕ_TX 根据啁啾信号幅度A与t的函数关系式有： ϕ_TX=2πf(τ)τ=2π(B/T_c  τ+f_c )τ=2π B/T_c  τ^2+2πf_c τ  当时间延迟τ足够小时，2π B/T_c  τ^2可被忽略，故ϕ_0=2πf_c τ（5） 数学上，可以进一步推导为公式6： ϕ_0=4πd/λ（6） 其中λ为f_c对应的波长。 总之，对于距离雷达d处的目标，IF信号将是一个正弦波（公式7），为：          A sin⁡〖(2πf_0 t+ϕ_0 )    (7)〗 其中，f_0=2Sd/c,ϕ_0=4πd/λ ，在数学上，取〖0≤ϕ〗_0<2π. 下面给出一个距离测量的例子： 到目前为止，我们的假设是雷达只探测到一个目标。现在让我们分析当探测到多个目标的情况。图5显示了从不同目标接收到的三个不同的RX啁啾信号。每个啁啾信号的时间延迟与到目标的距离成正比。不同的RX啁啾信号转换为IF信号对应的不同音调，每个音调具有固定的频率，因此IF信号中将由3个不同的音调（可以理解为3个子载波）。   下面给出一个有3个目标的距离测量的例子： 这个由多个音调组成的IF信号必须经过傅里叶变换处理，以便分离出不同的音调。傅里叶变换处理后将得到一个频谱，其中每个音调都有独立的峰值，对应一个频率，而频率与目标的距离相关，因此每个峰值表示特定距离处存在一个目标。 距离分辨率 距离分辨率是区分两个或多个目标的能力。当两个目标靠近时，雷达系统在某一点将不再能够将它们区分为独立的目标。傅里叶变换理论指出，通过增加IF信号的持续时长，可以提高分辨率。 要增加IF信号的持续时长，必须按一定比例增加带宽。增加持续时长后的IF信号会产生两个独立的峰值。 傅里叶变换理论还指出，一个观测窗口(T)可以分辨出间隔超过1/THz的频率分量。这意味着只要频率差满足公式8给出的关系，一个 IF信号的两个不同音调就可以被分辨。 Δf>1/T_c （8） 其中Tc是观察时间间隔，也就是观测窗口(T)。 由于Δf=2SΔd/c，公式8可变形为2SΔd/c>1/T_c ，而由图2可知，B = STc，Δd>c/〖2ST〗_c =c/2B. 我们称Δd的最小值为测距分辨率（dRes），它仅取决于啁啾信号所覆盖的带宽（公式9）： d_res=c/2B（9）   因此，FMCW雷达的带宽为几GHz时，其距离分辨率在几厘米的量级（例如，带宽为4 GHz的啁啾信号对应的距离分辨率为3.75厘米）。